Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3^{2 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $3^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 3^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ comme $\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \cdot 3^{2 x} + C$