Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Alors $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Étape 1.1.3.2.2

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.1.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.1.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 1.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{8})}^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Étape 1.5.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $16$ de l’exposant.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Étape 1.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Étape 1.5.4

Multipliez $16$ par $1$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ sur $16$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.2

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Étape 4.4.3

Additionnez $\frac{4096}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Étape 4.4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Étape 4.4.4.3

Annulez le facteur commun à $4096$ et $6$ .

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Étape 4.4.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Étape 4.4.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2048}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2048}{3}$

Forme décimale :

$682.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$682 \frac{2}{3}$