Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{3}{x}$ . Alors $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{3}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Étape 1.1.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

Étape 1.3

Divisez $3$ par $1$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

Étape 1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Étape 2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

Étape 4

Évaluez $e^{u}$ sur $1$ et sur $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

Étape 5

Simplifiez

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

Forme décimale :

$5.78908503 \dots$