Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

Étape 1

Laissez $u = 2 + \sin (t)$ . Alors $d u = \cos (t) d t$ , donc $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 + \sin (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \sin (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $6 (- u^{- 1} + C)$ comme $6 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

Étape 5.2.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$