Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x}{3 {(9 - 2 x^{2})}^{\frac{4}{3}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 9 - 2 x^{2}$ . Alors $d u = - 4 x d x$ , donc $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 9 - 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 4 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{\frac{4}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{4}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$ comme $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Étape 7.2

Réécrivez $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 7.3.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 7.3.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 7.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(9 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{3}}} + C$