Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 1.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{1^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = e^{1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$u_{upper} = e$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u_{2}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} e) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e$ .

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.85914091 \dots$