Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 5$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 5$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$u_{upper} = 6$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Étape 4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $6$ et sur $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Étape 4.3.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Étape 4.3.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Étape 4.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Forme décimale :

$4.46462563 \dots$