Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \csc (π A)$ . Alors $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , donc $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \csc (π A)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ est $f' (g (A)) g' (A)$ où $f (A) = \csc (A)$ et $g (A) = π A$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $π A$ par rapport à $A$ est $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ est $n A^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Étape 1.1.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $A$ dans $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $π$ et $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $A$ dans $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Étape 2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{π} u_{2}$ sur $1$ et sur $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{π}$ et $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Étape 4.4.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{π}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{π}$

Forme décimale :

$0.31830988 \dots$