Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ comme $u - 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u - 4}$ comme ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

$\int (u - 4) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 4) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.2

Associez $u$ et $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.8

Associez $- 4$ et $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

Étape 4.2.4

Divisez $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(4 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$