Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

Réécrivez $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$