Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(e^{x} + 1)}^{2}}{e^{x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $- d u = - e^{x} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int 1 u^{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(e^{x} + 1)}^{3} + C$