Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} e^{2 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{4} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{4}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u}$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{4}) - e^{0})$

Étape 5.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{4} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{4} - 1)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2} \cdot (e^{4} - 1)$

Forme décimale :

$26.79907501 \dots$