Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 {(6 x + 1)}^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = 6 x + 1$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 6 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 4 u^{5} \frac{1}{6} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $4$ .

$\int \frac{4}{6} u^{5} d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{4}{6}$ et $u^{5}$ .

$\int \frac{4 u^{5}}{6} d u$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{5}$ .

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{6} d u$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{2 (3)} d u$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{2 \cdot 3} d u$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2 u^{5}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ comme $\frac{1}{9} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{9} u^{6} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 1$ .

$\frac{1}{9} {(6 x + 1)}^{6} + C$