Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Étape 2

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{0}^{1}$

Étape 3

Évaluez $- \cos (u)$ sur $1$ et sur $0$ .

$(- \cos (1)) + \cos (0)$

Étape 4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \cos (1) + 1$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$- 1 \cdot 0.5403023 + 1$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $0.5403023$ .

$- 0.5403023 + 1$

Étape 5.3

Additionnez $- 0.5403023$ et $1$ .

$0.45969769$