Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin^{2} (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 x^{2})) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\sin (2 x^{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Étape 16.4

Multipliez $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2})$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin (2 x^{2})}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{4 \cdot 2} + C$

Étape 16.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{8} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \sin (2 x^{2}) + C$