Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 5 - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 5 - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 1.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Étape 1.5.2

Soustrayez $12$ de $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Étape 6

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Étape 6.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 7$ et sur $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Étape 6.2.2

Associez $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 7$ et $0$ est $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Étape 6.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Étape 6.3.3

Divisez $7$ par $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Forme décimale :

$- 0.64863671 \dots$