Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Étape 3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Étape 3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 1}{3}$

Étape 3.4.3.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{3}$

Forme décimale :

$2.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{3}$