Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $3^{u_{1}} \ln (3)$ .

$3^{u_{1}} \ln (3)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{\ln (3)}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{\ln (3)}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (3)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (3)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$