Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

Étape 1

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{x^{5} - 8}$ .

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{5} - 8$ . Alors $d u = 5 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{5} - 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$5 x^{4}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$