Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{10}{\sqrt{2 x + 3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$\frac{2}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{5}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 3.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$5 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$5 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $5 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ comme $10 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$10 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$10 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$