Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

L’intégrale de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ sur $\frac{3 π}{4}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Étape 3.2.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.5.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ est d’environ $2.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Étape 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ est d’environ $0.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ par $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ par $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Étape 4.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Étape 4.4

Simplifiez

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Étape 4.5

Divisez $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ par $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Étape 4.6

Réécrivez $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ comme $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Étape 4.7

Additionnez $\ln (\sqrt{2} + 1)$ et $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Forme décimale :

$1.76274717 \dots$