Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Factorisez $4$ à partir de $1 + 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Étape 2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Étape 6.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Étape 6.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$