Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = 0^{1}$

Étape 2.3.4

Évaluez l’exposant.

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π^{2}}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Étape 2.5.3.4

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (0 + 1)$

Étape 6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$