Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 5$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Étape 2

Comme $\frac{7}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{7}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $u^{\frac{5}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{5}{4}}$ par rapport à $u$ est $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ comme $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ comme $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 5.3.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 5.3.4

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 5.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$