Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{u}$ comme $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3

Développez $(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3.6

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$