Calcul infinitésimal Exemples

$(\int x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x)$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2}$ et $\ln (u_{1})$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (u_{1})$ et $d v = \sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5.2

Associez $\ln (u_{1})$ et $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (u_{1}) (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5.4

Associez $\frac{2}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3 u_{1}} d u_{1})$

Étape 6

Comme $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$

Étape 8

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$ comme $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Étape 9

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 10

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$ comme $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} - 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez les termes opposés dans $\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}$ .

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Étape 12.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 12.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 12.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 12.1.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Étape 12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 12.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 12.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Étape 12.4.1.1

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Étape 12.4.1.2

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $- 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Étape 12.4.1.3

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Étape 12.4.2

Réécrivez $- 1 \ln (| x^{2} + 1 |)$ comme $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Étape 12.4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

Étape 12.5

Associez.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Étape 12.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{3} + C$

Étape 12.7

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}) + C$