Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Étape 2

Complétez le carré.

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + x (- x)$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x - x \cdot x$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x - x^{2}$

Étape 2.1.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Étape 2.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x - \frac{1}{2}$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x - \frac{1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Étape 4

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Étape 4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Étape 8.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (2 x - 1) + C$