Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

$u_{upper} = e + 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $e + 1$ et sur $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

$e + 1$ est d’environ $3.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Forme décimale :

$0.62011450 \dots$