Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \cos (π x)$ . Alors $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ , donc $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \cos (π x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \sin (π x) π$

Étape 1.1.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{π}$ et $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$