Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ comme $u - 4$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u - 4}$ comme ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Développez $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 12.2

Pour écrire $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 12.3

Associez $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Étape 12.5

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Étape 12.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

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Étape 12.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + C$

Étape 12.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} (2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$