Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Étape 3

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Étape 4

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{3 π}{2}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Étape 6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3}{2}$

Étape 6.7

Multipliez $- - \frac{3}{2}$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Étape 6.7.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{2}$