Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x}{5 {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 6 x^{2} - 7$ . Alors $d u = 12 x d x$ , donc $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 6 x^{2} - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$12 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}} \cdot 12} d u$

Étape 2.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$\int \frac{4}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 2.3

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{4 (1)}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 2.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60 u^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{4 (1)}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Étape 2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{15 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez $u^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{15} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ comme $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ comme $\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{3}} + C$