Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sin (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Étape 6

Développez ${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6.8

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6.9

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.11

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.13

Factorisez le signe négatif.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.15

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.17

Factorisez le signe négatif.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.19

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.21

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

Étape 6.23

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Étape 6.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Étape 6.25

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

Étape 6.26

Soustrayez $u^{4}$ de $- u^{4}$ .

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

Étape 6.27

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{4}$ et $u^{6}$ .

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

Étape 6.28

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 12.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$