Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Étape 1.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.3.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.3.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.3.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3.6.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (0)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Étape 3

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $1$ et sur $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Étape 3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Simplifiez

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Étape 3.4.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Étape 3.4.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.4.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 3.4.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 3.4.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 3.4.1.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Étape 3.4.2.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$