Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x + 4$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , donc $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 4

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Étape 4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$