Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{8 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{2} - 1$ . Alors $d u = 8 x d x$ , donc $\frac{1}{8 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$8 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Étape 4.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 1)}^{3}} + C$