Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ comme $u - 1$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u - 1}$ comme ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$