Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = \ln (x)$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Inversez l’exposant de $e^{u_{1}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Étape 2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- 1 u_{1}$ comme $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = u_{1}$ et $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ comme $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Étape 5.2

Réécrivez $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ comme $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Additionnez $- u_{1} e^{u_{2}}$ et $e^{u_{2}} u_{1}$ .

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Étape 5.3.1.1

Remettez dans l’ordre $e^{u_{2}}$ et $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Étape 5.3.1.2

Additionnez $- u_{1} e^{u_{2}}$ et $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$C$