Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 6}^{0} | x^{3} + 27 | d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Séparez l’intégrale selon là où $x^{3} + 27$ est positif et négatif.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 6}^{- 3} x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$ et $27 x]_{- 3}^{0}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $- 3$ et sur $- 6$ .

$- ((\frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Étape 11.2.2

Évaluez $- 27 x$ sur $- 3$ et sur $- 6$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Étape 11.2.3

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + 27 x$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4

Simplifiez

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Étape 11.2.4.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.2

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1296}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.3

Annulez le facteur commun à $1296$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $1296$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 (1)}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{81}{4} - \frac{324}{1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.3.2.4

Divisez $324$ par $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 1 \cdot 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $324$ .

$- (\frac{81}{4} - 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.5

Pour écrire $- 324$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} - 324 \cdot \frac{4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.6

Associez $- 324$ et $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} + \frac{- 324 \cdot 4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{81 - 324 \cdot 4}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.8.1

Multipliez $- 324$ par $4$ .

$- \frac{81 - 1296}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.8.2

Soustrayez $1296$ de $81$ .

$- \frac{- 1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1215}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.11

Multipliez $\frac{1215}{4}$ par $1$ .

$\frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.12

Multipliez $- 27$ par $- 3$ .

$\frac{1215}{4} + 81 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.13

Multipliez $27$ par $- 6$ .

$\frac{1215}{4} + 81 - 162 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.14

Soustrayez $162$ de $81$ .

$\frac{1215}{4} - 81 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.15

Pour écrire $- 81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.16

Associez $- 81$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1215 - 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.18.1

Multipliez $- 81$ par $4$ .

$\frac{1215 - 324}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.18.2

Soustrayez $324$ de $1215$ .

$\frac{891}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{891}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.20

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.21

Multipliez $27$ par $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.22

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.23

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} \cdot 81 + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.24

Associez $\frac{1}{4}$ et $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + 27 \cdot - 3)$

Étape 11.2.4.25

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81)$

Étape 11.2.4.26

Pour écrire $- 81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 11.2.4.27

Associez $- 81$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Étape 11.2.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.4.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.29.1

Multipliez $- 81$ par $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 324}{4}$

Étape 11.2.4.29.2

Soustrayez $324$ de $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{- 243}{4}$

Étape 11.2.4.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{891}{4} + 0 - - \frac{243}{4}$

Étape 11.2.4.31

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 1 (\frac{243}{4})$

Étape 11.2.4.32

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + \frac{243}{4}$

Étape 11.2.4.33

Additionnez $0$ et $\frac{243}{4}$ .

$\frac{891}{4} + \frac{243}{4}$

Étape 11.2.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{891 + 243}{4}$

Étape 11.2.4.35

Additionnez $891$ et $243$ .

$\frac{1134}{4}$

Étape 11.2.4.36

Annulez le facteur commun à $1134$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.36.1

Factorisez $2$ à partir de $1134$ .

$\frac{2 (567)}{4}$

Étape 11.2.4.36.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.36.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.36.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.36.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{567}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{567}{2}$

Forme décimale :

$283.5$

Forme de nombre mixte :

$283 \frac{1}{2}$

Étape 13