Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\ln (| \sec (u) |)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

Étape 3.2.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ est d’environ $1.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.2.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

Étape 3.3.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

Étape 3.3.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

Étape 3.3.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

Étape 3.3.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Étape 3.3.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Étape 3.3.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Étape 3.3.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Étape 3.3.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

Étape 3.3.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

Étape 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est d’environ $1.15470053$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Étape 3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

Étape 3.3.4

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

Étape 3.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 4.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Étape 4.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Étape 4.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Étape 4.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Étape 4.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 4.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

Étape 4.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Forme décimale :

$0.20273255 \dots$