Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 5

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Étape 5.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Étape 5.3

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Étape 5.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Étape 5.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Étape 5.3.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{\ln (2)}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (2)}{2}$

Forme décimale :

$0.34657359 \dots$