Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (x)})}^{2} d x$

Étape 1.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Étape 1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int {(1 \cos (x))}^{2} d x$

Étape 1.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\int \cos^{2} (x) d x$

Étape 2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 6

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 7

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 12.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$