Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Étape 1.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Étape 1.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.5

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 8.6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.6.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.7.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.8

Simplifiez

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Étape 8.8.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 8.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Étape 8.8.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Étape 8.9

Simplifiez

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Étape 8.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Étape 8.9.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Étape 8.10

Additionnez $\frac{2}{5}$ et $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Étape 8.11

Simplifiez

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Étape 8.11.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 8.11.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 8.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Étape 8.11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.11.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Étape 8.11.4.2

Additionnez $10$ et $2$ .

$\frac{12}{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12}{5}$

Forme décimale :

$2.4$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{2}{5}$