Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$u_{upper} = 6$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Étape 6

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $6$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Étape 8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Étape 9

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Étape 9.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Étape 9.3

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{5}{12}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{12}$

Forme décimale :

$0.41\overline{6}$