Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Développez $(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.12

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.13

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{3}{2}}$ et $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.14

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5.15

Remettez dans l’ordre $3 x^{\frac{1}{2}}$ et $7 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$