Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2}}{{(2 x^{3} - 5)}^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x^{3} - 5$ . Alors $d u = 6 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x^{3} - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x^{3} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{2}{u^{3}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2}{u^{3}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{2}{u^{3} \cdot 6} d u$

Étape 2.2

Déplacez $6$ à gauche de $u^{3}$ .

$\int \frac{2}{6 \cdot u^{3}} d u$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{2 (1)}{6 u^{3}} d u$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 u^{3}$ .

$\int \frac{2 (1)}{2 (3 u^{3})} d u$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \cdot 1}{2 (3 u^{3})} d u$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ comme $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ comme $\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{3 (2 u^{2})} + C$

Étape 6.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{1}{6 u^{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} - 5$ .

$- \frac{1}{6 {(2 x^{3} - 5)}^{2}} + C$