Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

Étape 2

Développez ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(u - 1)}^{2}$ comme $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Étape 2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.8

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.9

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.10

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.14

Additionnez $2$ et $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.15

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.16

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.19

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.22

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Étape 2.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

Étape 2.24

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

Étape 2.25

Soustrayez $u^{4}$ de $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$