Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Étape 1.3

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{4}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{4}{1})$

Étape 5.3

Divisez $4$ par $1$ .

$\ln (4)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (4)$

Forme décimale :

$1.38629436 \dots$