Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Alors $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 x + 6$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ et $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ comme $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

Étape 7

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

Étape 7.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$