Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2}{3 \sqrt[3]{3 - 2 x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 2}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2

Réécrivez $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ comme $- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} + C$